طرح بررسی روشهاي آماري

دسته بندي : علوم پایه » آمار
پروژه بررسي روشهاي آماري در 44 صفحه ورد قابل ويرايش


تعاريف و تنظيم داده هاي آماري :

1- تعاريف و توزيعهاي آماري

1-1- تعريف علم آمار :

قبل از آنكه علم آمار تعريف گردد لازم است كمي راجع به تاريخچه آن سخن به ميان بيايد تاريخچه علم آماررا مي توان از بدو تشكيل دولتها آغاز كرد ، زيرا كلمه آمار Statusticesاز كلمه State به معني دولت گرفته شده است . دولتهاي اوليه نيز براي پي بردن به سلطه و قلمروخود احتياج به آن داشتند . البته در آن زمان منظور از آمار ارقام و اطلاعات مورد نياز دولتها براي گرفتن ماليات و سربازي و ساير امور مربوطه به كشورداري و سياست بوده است .

از چند هزار سال قبل از مسيح در كشورهاي مصر و چين و هندوستان قديم سرشماري نفوس و همچنين اندازه ميزان – دارائي تحت نفوذ دولتها انجام گرديده است و يا اينكه اغلب به طور ناقص انجام گرديده است ، با اين حال همين شمارشهاي ابتدائي پايه و اساس آمار امروزي را بنيان نهاده است ولي تقريباً در نيم قرن اخير همراه با ساير علوم ، علم آمار نيز سير صعودي را پيموده و گاهي پيشتاز و پيش قراول بعضي از علوم بوده است ، كه با استفاده از آن بود كه اغلب علوم چند برابر سرعت سير عادي خود را گرفتند ، زيرا روشها و فنوني كه براي تحقيقات علمي ضروري هستند از علم آمار بدست مي‌آيد ، بخصوص در علوم فيزيكي و زيست شناسي و اجتماعي و اقتصادي بكار برده مي شود . ناگفته نماند گاه ممكن است كه يك روش معين تنها به منظور استفاده در يك رشته خاص پژوهش علمي طرح ريزي شده باشد . اين بدان معني نيست كه در آن رشته بخصوص آمار كاربرد زيادي دارد .

از آنجائيكه علم آمار ريشه و علايقش به كليه علوم بشري رسيده است ، امروزه در تمامي دانشگاههاي جهان در اكثر رشته هاي مختلف دانشگاهي اعم از رشته هاي پزشكي ، فني ، كشاورزي و برنامه ريزي و… تدريس مي شود . براي آنكه هدف اين درس بهتر معلوم شود ، لازم است بدواً علم آمار را تعريف نمائيم .

حال چند تعريف را از بين كليه تعاريف كه جامع تر به نظر مي آيد بيان مي كنيم . لازم به تذكر است كه براي علم آمار تعاريف زيادي شده است .

- آمار علمي است كه خواص جامعه را مورد بررسي قرار مي دهد .

- آمار علمي است كه مشخصات جامعه ها را به صورت كمي ولي بادر نظراوضاع كيفي آنها مورد بررسي قرار ميدهد .

- آمار علمي است كه اصول وروش جمع آوري اطلاعات آماري ، نمايش دادن آنها ، تجزيه و تحليل و استنتاج آماري را مورد بحث قرار مي‌دهد .



4-3- واريانس

در ميانگين قدر مطلق انحرافات براي اينكه انحرافات مثبت و منفي يكديگر را خنثي نكنند آن را به صورت قدر مطلق بيان كرديم . اين منظور از راه مجذور كردن انحرافات نيز ممكن بود تا فرمول از حالت جبري خارج نشود . بدين طريق مشخص كننده جديدي از پراكندگي كه از هر حيث بر مشخص كننده هاي قبلي برتري دارد بدست خواهد آمد كه آن را واريانس مي نامند و يا ، نمايش مي دهند . ( واريانس واقعي جامعه را با نشان مي دهند )

و عادتاً در اين كتاب آن را با نشان خواهيم داد .



در صورتيكه داده هاي آماري به صورت جدول توزيع فراواني باشد به بيان ديگر فراوانيهاي مقادير صفت يكسان نباشد ( مانند ميانگين حسابي سا ده و ميانگين وزني ) فرمول واريانس به صورت زير خواهد بود .



معمولا صورت واريانس يعني مجموع مجذور و انحرافات از ميانگين را با (2) و به طور خلاصه با SS نمايش مي دهند در نتيجه فرمول واريانس در حالت كلي به زير خواهد بود .



چو ن محاسبه واريانس به اين صورت خالي از اشكال نيست (چرا ؟) بدين جهت صورت كسر واريانس (SS) را بسط داده به صورت زير در مي آيند .



(اثبات اين فرمول بعهده دانشجويان گذارده مي شود )

در نتيجه فرمول كلي واريانس عبارت خواهد بو د:



وگاهي را با علامت اختصاري يعني عامل تصحيح (Correction Factor)

نشان مي دهند .



و با استفاده از نتيج مي شود كه

در نتيجه فرمول عبارت خواهد بود از :



و فرمول واريانس نيز به صورت زير در مي آيد .



ويا



در صورتي كه داده هاي آماري به صورت فراواني نسبي بيان شود فرمول واريانس برابر خواهد بود



مانند تمام مشخص كننده هاي پيش بهتر است محاسبه آن به كمك جدول انجام گيرد . يادآور مي شود كه در مقايسه دو يا چند جامعه ، جامعه ايكه واريانس آن كمتر است مقادير صفت متغير مورد مطالعه آن جامعه يكنواخت تر از جامعه هاي ديگر مي باشد .

تبصره ((در مواردي كه تعداد نمونه نسبت به تعداد كل جامعه خيلي كوچك باشد واريانس را از فرمول بدست مي آورند ))



4-3-1- خواص واريانس

چون فرمول واريانس به صورت جبري بيان گرديده است لذا با توجه به فرمول آن مي توان خواص زير را بيان كرد و اين خواص به ما كمك مي كند كه محاسبات را آسان تر بدست آوريم .

1- اگر از تمامي مقاديرصفت يك مقدار ثابت a كسر يا اضافه نمائيم مقدار آن تغيير نمي كند .



4-فراواني مطلق و نسبي

از آنجا كه ارتباط نزديك بين احتمال يك حادثه با فراواني نسبي آن در يك سري آرمايش كه تعداد آنها به اندازه كافي زياد باشد برقرار است لذا بار ديگر فراواني نسبي يك حادثه را بازگو مي نمائيم .

مقدار مشاهدات در يك آزمايش را فراواني مطلق مي نامند مثلا اگر يك سكه n بار ترپات شود بارشير بيايد آنگاه را فراواني مطلق و را فراوني نسبي حادثه مي نامند و به صورت نشان مي دهند مي دانيم كه هميشه بر قرار است و در حالتي كه است كه باشد و همچنين در صورتي كه صادق است باشد يعني حادثه A وقوع نيابد .



5-تعريف احتمال برمبناي فراواني نسبي

فرض كنيم هريك از دانشجويان كلاس يك سكه پرتاب مي كنند اگردانشجوي اولي بار و دومي و سومي بارو … همين طور I ام بار سكه اي را پرتاب كنند ، اگر تعداد رويه شير آمدن به ترتيب براي دانشجوي اولي ، دومي سومي و…

و براي بار رخ دهد آنگاه فراواني نسبي شير آمدن در پرتاب سكه براي هريك از دانشجويان برابر با :

مي باشد .

اگر به جاي n ها عدد گذارده شود ملاحظه مي شود كه با بزرگ شدن n فراوانيهاي نسبي به عدد 5/0 نزديكتر مي شوند .

با توجه به مطالب بالامي توان گفت كميت ثابت كه در حول آن فراواني نسبي حادثه در سري آزمايشهاي زياد گرد هم مي آيد به عنوان اندازه اسكان وقوع حادثه قبول مي شود ، احتمال آن حادثه ناميده مي شود و آن را با يا نمايش مي دهند در عمل به عنوان مقدار تقريبي احتمال حادثه تصادفي ، فراواني نسبي آن حادثه در آزمايش هاي با n بزرگ قبول مي شود يعني همواره



ثانياً از راه حل ضرب



حل قسمت دوم با استفاده از قضيه مجموع وقوع و عدم وقوع حادثه



حل قسمت سوم





8- احتمال هندسي

مسائلي كه تاكنون ديديم حالتهاي ممكن از هم منفك و جدا بوده و شمارش آنها امكان پذير بوده است و علاوه بر آن تعداد پيشامدها نيز هم احتمال بوده است ولي گاهي اوقات علاوه بر اينكه شمارش حالات ممكن و يا مساعد به علت بينهايت بودن آنها امكان پذير نمي باشد تعريف احتمال ، مبتني بر در نظر گرفتن تعداد پيشامدهاي هم احتمال در حالت كلي كافي نيست زيرا به اين ترتيب احتمال بر حسب احتمال تعريف شده است . براي برطرف كردن اين مطلب مسئله زير را در نظر مي گيريم .

گيريم ناحيه G را در يك صفحه ،‌و همچنين ناحيه g را كه در داخل ناحيه G قرار دارد در نظر بگيريم احتمال پيشامدي كه يك نقطه اختياري مثلا A در ناحيه G انتخاب مي گردد در داخل ناحيه نيز قرار گيرد چيست ؟

احتمال اينكه نقطه A در قسمتي از G باشد براي تمام نقاط G متناسب با اندازه اين قسمت است و بنابر اين براي ناحيه انتخاب شده g در حالت كلي داريم .



يعني احتمال اينكه نقطه A در داخل ناحيه g باشد برابر با نسبت و سعت اندازه g بروسعت اندازه G مي باشد اين مطلب را مي توان براي حالتي كه ناحيه هاي G و g سه بعدي باشند نيز تعميم داد كه در اين صورت وسعت اندازه به حجم اندازه تبديل مي گردد.

مثال 5 – صفحه دايره با سرعت زاويه اي ثابت دوران مي كند از مساحت اين صفحه به رنگ سياه و بقيه به رنگ سفيد رنگ آميزي شده است به اين صفحه كه در حال حركت است ، تيراندازي مي شود كه يقيناً نيز به صفحه اثابت مي كند .

احتمال اينكه تير به ناحيه با رنگ سياه اصابت كند چيست ؟

حل :



تبصره : ممكن است مساحت g صفر باشد ( يك نقطه ) در آن حال احتمال برابر با صفر مي شود در حالي كه ممكن است نقطه A روي نقطه g قرار گيرد بنابراين نتيجه مي گيريم كه : درآزمايش كه نتايج ممكن آن نامحدود مي باشد از صفر بودن احتمال حادثه غير ممكن بودن حادثه لزوماً نتيجه گيري نمي شود و يا برعكس .

مثال 6 – فرض كنيم دايره اي به شعاع R حول محور عمود بر مركزش مي چرخد و عقربكي ثابت در مقابل دايره واقع است نقطه اي مانند A روي دايره مشخص شده است مطلوب است :

الف – احتمال اينكه موقع توقف دايره نقطه A در مقابل نوك عقربك قرار گيرد.

ب – احتمال اينكه موقع توقف دايره نقطه A در مقابل نوك عقربك قرار نگيرد.

حل – الف – به عنوان اندازه مجموعه نقاط بر روي دايره مي توان طول آن دايره را قبول كرد در اين صورت اندازه مجموعه A كه از يك نقطه بر روي آن دايره تشكيل شده است ، صفر خواهد بود .



يعني مقدار احتمال برابر صفر مي شود . چه بسا ممكن است نقطه A د رمقابل عقربك قرار گيرد بنابراين از صفر بودن احتمال حادثه غير ممكن بودن حادثه لزوماً نتيجه گيري نمي شود .

ب – در اين حالت احتمال مربوط برابر يك خواهد بود .



از يك بودن احتمال حادثه يقين بودن حادثه نتيجه گيري نمي شود زيرا ممكن است نقطه A در مقابل عقربك قرار گيرد .

مي توان گفت افزون بر آن اگر . آنگاه حادثه غير ممكن نيست . همچنين اگر 1 آنگاه حادثه يقين نيست به سخن ديگر اين دو حالت تركيب دو شرطي نيستند .